Элейская школа довольно интересна для исследования, так как
это одна из
древнейших школ, в трудах которой математика и философия достаточно
тесно и
разносторонне взаимодействуют. Основными представителями элейской школы
считают
Парменида (конец VI - V в. до н.э.) и Зенона (первая половина V в. до
н.э.) .
Философия Парменида заключается в следующем: всевозможные
системы
миропонимания базируются на одной из трех посылок: 1) Есть только
бытие,
небытия нет; 2) Существует не только бытие, но и небытие; 3) Бытие и
небытие
тождественны. Истинной Парменид признает только первую посылку.
Согласно ему,
бытие едино, неделимо, неизменяемо, вневременно, закончено в себе,
только оно
истинно сущее; множественность, изменчивость, прерывность, текучесть -
все это
удел мнимого.
С защитой учения Парменида от возражений выступил его ученик
Зенон. Древние
приписывали ему сорок доказательств для защиты учения о единстве сущего
(против
множественности вещей) и пять доказательств его неподвижности (против
движения)
. Из них до нас дошло всего девять. Наибольшей известностью во все
времена
пользовались зеноновы доказательства против движения; например,
"движения
не существует на том основании, что перемещающееся тело должно прежде
дойти до
половины, чем до конца, а чтобы дойти до половины, нужно пройти
половину этой
половины и т.д. ".
Аргументы Зенона приводят к парадоксальным, с точки зрения
"здравого
смысла", выводам, но их нельзя было просто отбросить как
несостоятельные,
поскольку и по форме, и по содержанию удовлетворяли математическим
стандартам
той поры. Разложив апории Зенона на составные части и двигаясь от
заключений к
посылкам, можно реконструировать исходные положения, которые он взял за
основу
своей концепции. Важно отметить, что в концепции элеатов, как и в
дозеноновской
науке фундаментальные философские представления существенно опирались
на
математические принципы. Видное место среди них занимали следующие
аксиомы: 1.
Сумма бесконечно большого числа любых, хотя бы и бесконечно малых, но
протяженных величин должна быть бесконечно большой; 2. Сумма любого,
хотя бы и
бесконечно большого числа непротяженных величин всегда равна нулю и
никогда не
может стать некоторой заранее заданной протяженной величиной.
Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских
представлений с
фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном
по
философским воззрениям, существенно затронул систему математических
знаний.
Целый ряд важнейших математических построений, считавшихся до этого
несомненно
истинными, в свете зеноновских построений выглядели как противоречивые.
Рассуждения Зенона привели к необходимости переосмыслить такие важные
методологические вопросы, как природа бесконечности, соотношение между
непрерывным
и прерывным и т.п. Они обратили внимание математиков на непрочность
фундамента
их научной деятельности и таким образом оказали стимулирующее
воздействие на
прогресс этой науки.
Следует обратить внимание и на обратную связь - на роль
математики в формировании
элейской философии. Так, установлено, что апории Зенона связаны с
нахождением
суммы бесконечной геометрической прогрессии. На этом основании
советский
историк математики Э. Кольман сделал предположение, что "именно на
математический почве суммирования таких прогрессий и выросли
логико-философские
апории Зенона". Однако такое предположение, по-видимому, лишено
достаточных оснований, так как оно слишком жестко связывает учение
Зенона с
математикой при том, что имеющие исторические данные не дают основания
утверждать, что Зенон вообще был математиком.
Огромное значение для последующего развития математики имело
повышение
уровня абстракции математического познания, что произошло в большой
степени
благодаря деятельности элеатов. Конкретной формой проявления этого
процесса
было возникновение косвенного доказательства ("от противного") ,
характерной чертой которого является доказательство не самого
утверждения, а
абсурдности обратного ему. Таким образом был сделан шаг к становлению
математики
как дедуктивной науки, созданы некоторые предпосылки для ее
аксиоматического
построения.
Итак, философские рассуждения элеатов, с одной стороны,
явились мощным
толчком для принципиально новой постановки важнейших методологических
вопросов
математики, а с другой - послужили источником возникновения качественно
новой
формы обоснования математических знаний.