Пифагорийская школа
Пифагор основал братство религиозного, философского и научного
характера с
политическим уклоном. Труды, приписываемые обычно Пифагору, относятся
не только
к легендарному Пифагору, но вообще к трудам этой школы между 585 и 400
г. до
н.э.
В своей космологической концепции Пифагор отказался от
монистической идеи
первичной субстанции, породившей всю Вселенную. Его концепция
дуалистична, и в
напряжении между двумя противоположными принципами - ограниченное -
неограниченное, нечетное - четное, единое - множественное, прямое -
кривое,
квадратное - продолговатое - он видел причину всякого развития. Мало
интересуясь материальными элементами, которые могли бы дать
представление о
генезисе различных составных частей Вселенной, Пифагор, увлеченный
глубоким
религиозным течением, охватившим Грецию того времени, стремился дать
глобальную
картину космоса в целом. Основу всего он видел в числе, о чем
свидетельствует
его девиз: “Все есть число” .
Наиболее важным среди приписываемых пифагорейцам открытий было
открытие
иррационального в виде несоизмеримых отрезков прямой линии. Возможно,
что оно
было сделано в связи с исследованием геометрического среднего а: в = в:
с,
величиной, которая интересовала пифагорейцев и служила символом
аристократии.
Чему равно геометрическое среднее единицы и двойки, двух священных
символов?
Это вело к изучению отношения сторон и диагонали квадрата, и было
обнаружено,
что такое отношение не выражается “числом” , то
есть тем, что мы теперь
называем рациональным числом (целым числом или дробью) , а только такие
числа
допускались пифагорейской арифметикой. Другими словами, иррациональные
числа
были открыты, когда стало ясно, что некоторые отношения нельзя выразить
с
помощью целых чисел. Это открытие ознаменовало крушение пифагорейской
точки
зрения о представимости мира с помощью целых чисел и вызвало первый
кризис в
истории математики.
Элеаты
Влияние Элейской школы (V в. до н.э.) на формирование
абстрактной научной
мысли огромно. Основатель этой школы, Парменид, был первым, кто строго
различал
чувственное и умопостигаемое, что привело к неизбежной конфронтации
между
опытом и требованиям разума. именно поэтому элеаты не приняли
пифагорейскую
доктрину, ставящую в соответствие всякой вещи число. если дискретные
объекты
можно представить целыми числами. то иначе обстоит дело в случае
непрерывных
величин, таких, как длины, площади, объемы и. т.д., которые в общем
случае
можно интерпретировать как дискретные наборы единиц, лишь если
допускать
существование бесконечного числа очень малых элементов, из которых эти
объекты
состоят. В качестве реакции на эту последнюю концепцию Зенон Элейский
(род.
между 495 и 480 гг. до н.э.) сформулировал четыре парадокса,
иллюстрирующих
невозможность бесконечной делимости и всякого движения, если мыслить
пространство и время состоящими из неделимых частей. Общая цель его
аргументов
показать те нелепости, к которым приходят, когда пытаются получить
непрерывные
величины из бесконечно малых частиц, взятых в бесконечном множестве.
Исчисление бесконечно малых ведет свое начало от интуитивного
представления
греков о непрерывности, математической бесконечности и пределе, а также
от тех
трудностей, с которыми они столкнулись при попытках явно определить эти
понятия. Эти три понятия были корректно определены лишь в XIX в., когда
математики захотели систематизировать достижения своей науки, и им
пришлось
пересмотреть основания, чтобы подвести под математическое здание
прочный
фундамент.
Числа и геометрические величины. Мы видели, что пифагорейцы
уподобляли числа
геометрическим точкам: единицу - одной точке, некоторое другое число -
группе
точек, образующих некоторую геометрическую фигуру. Каждое число у них
было
дискретным набором единиц; таким образом, пифагорейская арифметика
ограничивалась изучением положительных целых чисел и отношений целых
чисел,
которые не считались числами.
Всякая непрерывная величина - линия, поверхность, тело - могла
быть
отождествлена с некоторым соответствующим ей числом -
“количеством” (длина,
площадь, объем) . Подобно тому как единица была общей мерой целых
чисел,
величины должны были иметь общую единицу измерения - быть с о и з м е р
и м ы м
и - и каждая величина отождествлялась с целым числом составляющих ее
единиц.
Эта попытка отождествить целые числа с непрерывными величинами,
интерпретировать непрерывное в терминах дискретного ни к чему не
привела и
быстро провалилась. Решающую роль, как уже говорилось, в этом сыграло
открытие
иррациональных чисел. В квадрате со стороной 1 отношение диагонали к
стороне
равно;
оно не выражается в виде отношений целых чисел
и, значит, вообще не имеет статуса в пифагорейской арифметике. Сторона
и
диагональ не имеют общей единицы измерения и называются н е с о и з м е
р и м ы
м и. Взаимное соответствие между величиной и числом, знакомое
пифагорейцам,
оказалось нарушенным. Если каждому числу соответствует некая длина, то
какие
числа нужно сопоставить несоизмеримым величинам?
Парадоксы Зенона и понятие бесконечности. Именно в связи с
открытием
несоизмеримых величин в греческую математику проникло понятие
бесконечности. В
своих поисках общей единицы измерения для всех величин греческие
геометры могли
бы рассмотреть бесконечно делимые величины, но идея бесконечности
приводила их
в глубокое смятение. Если даже рассуждения о бесконечном проходили
успешно,
греки в своих математических теориях всегда пытались его обойти и
исключить. Их
затруднения перед явным выражением абстрактных понятий бесконечного и
непрерывного, противоположных понятиям конечного и дискретного, ярко
проявились
в парадоксах Зенона Элейского.
Доводами Зенона были “апории” (тупики) ;
они должны были продемонстрировать,
что оба предположения заводят в тупик. Эти парадоксы известны под
названием А х
и л л е с, С т р е л а, Д и х о т о м и я (деление на два) и С т а д и
о н. Они
сформулированы так, чтобы
подчеркнуть противоречия в понятиях движения и
времени, но это вовсе не попытка разрешить такие противоречия.
Апория “Ахилл и черепаха” противостоит
идее бесконечной делимости
пространства и времени. Быстроногий Ахилл соревнуется в беге с
черепахой и
благородно предоставляет ей фору. Пока он пробежит расстояние,
отделяющее его
от точки отправления черепахи, последняя проползет дальше; расстояние
между
Ахиллом и черепахой сократилось, но черепаха сохраняет преимущество.
Пока Ахилл
пробежит расстояние, отделяющее его от черепахи, черепаха снова
проползет еще
немного вперед, и т.д. Если пространство бесконечно делимо, Ахилл
никогда не
сможет догнать черепаху. Этот парадокс построен на трудности
суммирования
бесконечного числа все более малых величин и невозможности интуитивно
представить себе, что эта сумма равняется конечной величине.
Еще более явным этот момент становится в апории
“Дихотомия” : прежде чем
пройти некоторый отрезок, движущееся тело вначале должно пройти
половину этого
отрезка, затем половину половины, и так далее до бесконечности. Зенон
мысленно
строит ряд 1/2 + (1/2) 2 + (1/2) 3
+..., сумма которого
равна 1, но ему не удается интуитивно постичь содержание этого понятия.
Современные представления о пределе и сходимости ряда позволяют
утверждать, что
начиная с некоторого момента расстояние между Ахиллом и черепахой
станет меньше
любого заданного числа ,
выбранного сколь угодно малым.
Парадокс “Стрела” основан на
предположении, что пространство и время
составлены из неделимых элементов, скажем “точек” и
“моментов” . В некий
“момент” своего полета стрела находится в некоторой
“точке” пространства в
неподвижном состоянии. Поскольку это верно в каждый момент ее полета,
стрела
вообще не может находиться в движении.
Здесь затронут вопрос о мгновенной скорости. Какое значение
следует придать
отношению x/t
пройденного расстояния x
к интервалу времени t,
когда величина t
становится очень малой? Неспособные представить
себе минимум, отличный от нуля, древние придали ему значение ноль. Ныне
при
помощи понятия предела правильный ответ находится немедленно:
мгновенная
скорость есть предел отношения x/t
при t,
стремящемся к нулю
Таким образом, все эти парадоксы связаны с понятием предела;
оно стало
центральным понятием исчисления бесконечно малых.
Парадоксы Зенона известны нам благодаря Аристотелю, который
привел их в
своей “Физике” , чтобы подвергнуть критике. Он
различает бесконечность
относительно сложения и бесконечность относительно деления и
устанавливает, что
континуум бесконечно делим. Время тоже бесконечно делимо, и в конечный
интервал
времени можно пройти бесконечно делимое расстояние. Парадокс
“Стрела” , который
“является следствием предположения, что время составлено из
моментов” ,
становится нелепым, если принять, что время бесконечно делимо.
Список литературы
1. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние
века. М. -Л.,
1932
2. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М., Наука,
1978
3. Богомолов С. А. Актуальная бесконечность. М. -Л., 1934
Не подходит? Заказать реферат нашим авторам? Вы также можете добавить свой реферат
Реферат прочитали 761 чел.